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06주차 · 대표적인 이산형 확률분포01

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포02

6.0 준비

모수적 기법

‘모집단이 이와 같은 성질일 것이므로 이러한 형태를 가지는

확률분포일 것이다.’라는 가정을 하고, 그 뒤에 확률분포의

기댓값이나 분산을 결정하는 소수의 파라미터 추측

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포03

6.0 준비

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포04

6.1 베르누이 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포05

6.1 베르누이 분포

- 동전을 던져 앞면이 나올 확률

- 주사위를 한 번 굴려 6이 나오지 않을 확률

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포06

6.1 베르누이 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포07

6.1 베르누이 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포08

6.1 베르누이 분포

scipy.stats 의 bernoulli 함수는 베르누이 분포를 따르는 확률변수를 생성한다 (p = 0.3)

In [7]:  rv = stats.bernoulli(p)

In [8]:  rv.pmf(0), rv.pmf(1)
Out[8]: (0.700, 0.300)

In [9]:  rv.pmf([0, 1])
Out[9]: array([0.7, 0.3])

In [10]:  rv.cdf([0, 1])
Out[10]: array([0.7, 1. ])
  1. 1pmf 메서드는 확률함수 계산
  2. 2cdf 메서드는 누적분포함수 계산

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포09

6.1 베르누이 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포10

Q1

X ~ Bern(0.3) 에서 P(X = 0) 은?

성공이면 1, 실패면 0 을 취하는 베르누이 분포입니다. 성공 확률은 0.3 입니다.

  1. 10
  2. 20.3
  3. 30.21
  4. 40.7

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포11

A1

X ~ Bern(0.3) 에서 P(X = 0) 은?

4번 — 0.7

X = 0 은 실패입니다. 실패 확률은 1 − p = 1 − 0.3 = 0.7 입니다. 0.3 은 X = 1 일 확률이고, 0.21 은 분산 p(1 − p) 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포12

6.2 이항분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포13

6.2 이항분포

- 동전을 10번 던져 앞면이 3번 나올 확률

- 주사위를 4번 굴려 6이 한 번도 나오지 않을 확률

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포14

6.2 이항 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포15

6.2 이항 분포

- 기댓값은 10⨉0.3=3, 분산은 10⨉0.3⨉0.7=2.1

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포16

6.2 이항 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포17

6.2 이항 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포18

6.2 이항 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포19

Q2

다음 중 이항분포를 따르는 것은?

확률변수 X 를 이렇게 정했습니다. 이항분포 Bin(n, p) 로 나타낼 수 있는 것은?

  1. 1동전을 앞면이 나올 때까지 던진 횟수
  2. 2손님이 서로 독립적으로 아무 때나 들어오는 가게의 한 시간 손님 수
  3. 3공정한 동전을 10번 던져 앞면이 나온 횟수
  4. 4주사위를 한 번 굴려 나온 눈의 수

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포20

A2

다음 중 이항분포를 따르는 것은?

3번 — Bin(10, 1/2)

이항분포는 성공 확률이 p 인 시행을 서로 독립으로 정해진 n 번 했을 때 성공한 횟수입니다. 1번은 던지는 횟수가 정해져 있지 않으므로 기하분포, 2번은 정해진 시행 횟수 없이 단위 시간 동안 독립적으로 아무 때나 일어난 횟수이므로 포아송 분포로 봅니다. 4번은 성공·실패로 가르는 시행이 아니라 1 부터 6 까지 고르게 나오는 값이라 이항분포가 아닙니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포21

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포22

6.3 기하분포

- 동전을 다섯 번째 던져 처음으로 앞면이 나오는 확률

- 주사위를 세 번째 굴려 처음으로 6이 나오는 확률

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포23

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포24

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포25

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포26

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포27

6.3 기하분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포28

Q3

X ~ Ge(1/2) 에서 P(X = 3) 은?

앞면이 나올 확률이 1/2 인 동전을, 처음 앞면이 나올 때까지 던집니다. 세 번째에 처음 앞면이 나올 확률은?

  1. 11/8
  2. 21/4
  3. 33/8
  4. 41/2

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포29

A3

X ~ Ge(1/2) 에서 P(X = 3) 은?

기하분포의 확률함수 (1−p)^(x−1) p

$$P(X=3) = (1-p)^{2}\,p = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

1번 — 1/8

세 번째에 처음 성공하려면 앞의 두 번은 실패하고 세 번째에 성공해야 합니다. 실패 확률을 두 번, 성공 확률을 한 번 곱합니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포30

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포31

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포32

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포33

6.4 포아송 분포

- 기댓값과 분산은 모두 3

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포34

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포35

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포36

6.4 포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포37

Q4

평균 3번 일어나는 사건이 한 번도 안 일어날 확률은?

단위 시간에 평균 3번 일어나는 사건 X ~ Poi(3) 에서 P(X = 0) 을 구하세요.

  1. 10
  2. 2e⁻³ (약 0.05)
  3. 33e⁻³ (약 0.15)
  4. 41/3

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포38

A4

평균 3번 일어나는 사건이 한 번도 안 일어날 확률은?

포아송 분포의 확률함수에 x = 0

$$P(X=0) = \frac{3^0}{0!}e^{-3} = e^{-3} \approx 0.05$$

2번 — e⁻³

x = 0 을 넣으면 λ⁰ 과 0! 이 모두 1 이라 e^(−λ) 만 남습니다. 평균이 3 이어도 한 번도 안 일어날 확률은 0 이 아닙니다. 3e⁻³ 은 P(X = 1) 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포39

확인 문제 — 어느 분포인지 고르고 계산하기

시험에 이런 형태로 나올 수 있는 문제입니다. 문제를 띄우면 답 장으로 넘기기 전에 먼저 손으로 풀어 보세요.

  1. 5다음 상황은 어느 분포인가?
  2. 6Bin(10, 0.3) 의 기댓값과 분산은?
  3. 7주사위를 4번 굴려 6 이 한 번도 안 나올 확률은?
  4. 86 이 처음 나올 때까지 평균 몇 번 굴리나?
  5. 9포아송 분포의 분산이 4 이면 기댓값은?

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포40

Q5

다음 상황은 어느 분포인가?

'불량률이 2% 인 공장에서, 처음으로 불량품이 나올 때까지 검사한 제품 수'

  1. 1베르누이 분포
  2. 2이항분포
  3. 3기하분포
  4. 4포아송 분포

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포41

A5

다음 상황은 어느 분포인가?

3번 — 기하분포 Ge(0.02)

'처음 성공(여기서는 불량품 발견)할 때까지의 시행 횟수' 가 기하분포입니다. 검사 수 n 이 정해져 있고 그 안의 불량품 개수를 물었다면 이항분포입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포42

Q6

Bin(10, 0.3) 의 기댓값과 분산은?

성공 확률 0.3 인 시행을 10번 합니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포43

A6

Bin(10, 0.3) 의 기댓값과 분산은?

이항분포 공식

$$E = np = 10 \times 0.3 = 3, \qquad V = np(1-p) = 10 \times 0.3 \times 0.7 = 2.1$$

E(X) = 3, V(X) = 2.1

10번 중 평균 3번 성공합니다. 분산은 np 에 실패 확률 0.7 을 한 번 더 곱합니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포44

Q7

주사위를 4번 굴려 6 이 한 번도 안 나올 확률은?

X ~ Bin(4, 1/6) 에서 P(X = 0) 을 구하세요.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포45

A7

주사위를 4번 굴려 6 이 한 번도 안 나올 확률은?

풀이

$$P(X=0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$$

(5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0.48

x = 0 이면 조합은 1, p⁰ 도 1 이라 실패 확률만 네 번 곱하면 됩니다. 네 번이나 굴려도 6 이 안 나올 확률이 절반 가까이 됩니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포46

Q8

6 이 처음 나올 때까지 평균 몇 번 굴리나?

공정한 주사위를 6 이 나올 때까지 굴립니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포47

A8

6 이 처음 나올 때까지 평균 몇 번 굴리나?

6번 — Ge(1/6) 의 기댓값 1/p

성공 확률이 1/6 이면 평균 6번째에 처음 성공합니다. 확률이 작을수록 오래 걸린다는 직관과 맞습니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포48

Q9

포아송 분포의 분산이 4 이면 기댓값은?

  1. 12
  2. 24
  3. 316
  4. 4알 수 없다

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포49

A9

포아송 분포의 분산이 4 이면 기댓값은?

2번 — 4

포아송 분포는 기댓값과 분산이 모두 λ 입니다. 분산이 4 이면 λ = 4 이고 기댓값도 4 입니다. 표준편차(2)와 헷갈리지 마세요.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포50

계산 연습 — scipy 로 바로 구하기

분포를 정하면 계산은 한 줄입니다. 문제를 읽고 어떤 코드를 쓸지, 값이 얼마인지 번갈아 고릅니다.

분포만드는 코드정확히 k 일 확률기댓값
이항 Bin(n, p)stats.binom(n, p).pmf(k)np
기하 Ge(p)stats.geom(p).pmf(k)1/p
포아송 Poi(λ)stats.poisson(λ).pmf(k)λ

기댓값·분산은 .mean(), .var() 로도 구합니다. k 이하일 확률은 .cdf(k) 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포51

Q10

동전을 8번 던져 앞면이 정확히 4번 나올 확률 — 코드는?

공정한 동전을 8번 던집니다. 앞면이 정확히 4번 나올 확률을 구하는 코드를 고르세요.

  1. 1stats.binom(8, 0.5).pmf(4)
  2. 2stats.binom(4, 0.5).pmf(8)
  3. 3stats.geom(0.5).pmf(4)
  4. 4stats.binom(8, 0.5).cdf(4)

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포52

A10

동전을 8번 던져 앞면이 정확히 4번 나올 확률 — 코드는?

1번 — stats.binom(8, 0.5).pmf(4)

던지는 횟수 8 이 정해져 있고 앞면(성공) 횟수를 세니 이항분포 Bin(8, 0.5) 입니다. binom 에는 n, p 순서로 넣습니다. cdf(4) 는 '4번 이하' 의 확률이라 다릅니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포53

Q11

stats.binom(8, 0.5).pmf(4) 의 값은?

방금 고른 코드를 실행하면 얼마가 나올까요?

  1. 10.5
  2. 20.273
  3. 30.125
  4. 40.637

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포54

A11

stats.binom(8, 0.5).pmf(4) 의 값은?

2번 — 0.273

₈C₄ × (1/2)⁸ = 70/256 ≈ 0.273 입니다. 8번 중 딱 절반이 나올 확률이 0.5 가 아니라는 점이 직관과 다릅니다. 0.637 은 cdf(4), 곧 4번 이하일 확률입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포55

Q12

주사위를 두 번째에 처음 6 이 나올 확률 — 코드는?

주사위를 굴립니다. 첫 번째는 6 이 아니고, 두 번째에 처음으로 6 이 나올 확률을 구하는 코드를 고르세요.

  1. 1stats.binom(2, 1/6).pmf(1)
  2. 2stats.geom(2).pmf(1/6)
  3. 3stats.geom(1/6).pmf(2)
  4. 4stats.poisson(1/6).pmf(2)

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포56

A12

주사위를 두 번째에 처음 6 이 나올 확률 — 코드는?

3번 — stats.geom(1/6).pmf(2)

'처음 성공할 때까지의 횟수' 는 기하분포입니다. geom 에는 성공 확률 p 를 넣고, pmf 에 몇 번째인지를 넣습니다. 1번은 '두 번 중 한 번' 이라 첫 번째에 6 이 나온 경우까지 셉니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포57

Q13

stats.geom(1/6).pmf(2) 의 값은?

실패 한 번, 그다음 성공 한 번의 확률입니다.

  1. 10.167
  2. 20.028
  3. 30.278
  4. 40.139

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포58

A13

stats.geom(1/6).pmf(2) 의 값은?

4번 — 0.139

(5/6) × (1/6) = 5/36 ≈ 0.139 입니다. 0.028 은 (1/6)² 으로 두 번 다 6 이 나온 확률, 0.278 은 이항분포로 셌을 때(2 × 5/36) 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포59

Q14

한 시간 평균 4명 오는 가게에 정확히 2명 — 코드는?

손님은 서로 상관없이 한 시간에 평균 4명 옵니다. 한 시간 동안 정확히 2명 올 확률을 구하는 코드를 고르세요.

  1. 1stats.poisson(2).pmf(4)
  2. 2stats.poisson(4).pmf(2)
  3. 3stats.binom(4, 0.5).pmf(2)
  4. 4stats.poisson(4).cdf(2)

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포60

A14

한 시간 평균 4명 오는 가게에 정확히 2명 — 코드는?

2번 — stats.poisson(4).pmf(2)

단위 시간당 평균 횟수가 주어졌으니 포아송분포입니다. poisson 에는 평균 λ = 4 를, pmf 에는 알고 싶은 횟수 2 를 넣습니다. 1번은 둘을 바꿔 넣었고, 4번은 '2명 이하' 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포61

Q15

stats.poisson(4).pmf(2) 의 값은?

4² / 2! × e⁻⁴ 입니다.

  1. 10.147
  2. 20.238
  3. 30.5
  4. 40.018

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포62

A15

stats.poisson(4).pmf(2) 의 값은?

1번 — 0.147

16/2 × e⁻⁴ = 8e⁻⁴ ≈ 0.147 입니다. 0.238 은 cdf(2), 곧 0·1·2명을 모두 더한 값이고, 0.018 은 한 명도 안 올 확률 e⁻⁴ 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포63

Q16

Bin(20, 0.1) 의 기댓값은?

불량률 10% 인 제품 20개 중 불량품 수입니다. stats.binom(20, 0.1).mean() 의 값을 고르세요.

  1. 10.1
  2. 21.8
  3. 32
  4. 420

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포64

A16

Bin(20, 0.1) 의 기댓값은?

3번 — 2

이항분포의 기댓값은 np = 20 × 0.1 = 2 입니다. 1.8 은 분산 np(1 − p) = 20 × 0.1 × 0.9 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포65

Q17

Ge(0.25) 의 기댓값은?

성공률 25% 인 뽑기를 처음 성공할 때까지 합니다. stats.geom(0.25).mean() 의 값을 고르세요.

  1. 10.25
  2. 23
  3. 34
  4. 412

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포66

A17

Ge(0.25) 의 기댓값은?

3번 — 4

기하분포의 기댓값은 1/p = 1/0.25 = 4 입니다. 평균 네 번째에 처음 성공합니다. 12 는 분산 (1 − p)/p² 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포67

Q18

pmf 와 cdf — stats.binom(3, 0.5).cdf(1) 은?

동전을 3번 던진 앞면 수 X 에 대해 rv = stats.binom(3, 0.5) 입니다. rv.cdf(1) 의 값을 고르세요.

  1. 10.125
  2. 20.375
  3. 30.5
  4. 40.875

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포68

A18

pmf 와 cdf — stats.binom(3, 0.5).cdf(1) 은?

3번 — 0.5

cdf(1) 은 P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 0.5 입니다. 0.375 는 pmf(1), 곧 정확히 1번일 확률입니다. '이하' 는 cdf, '정확히' 는 pmf 입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포69

Q19

OX 문제 10개를 찍어 정확히 7개 맞힐 확률은?

분포를 정하고 코드 한 줄로 구해 보세요.

  1. 10.117
  2. 20.7
  3. 30.172
  4. 40.945

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포70

A19

OX 문제 10개를 찍어 정확히 7개 맞힐 확률은?

1번 — 0.117

문제 수 10 이 정해져 있고 맞힌 개수를 세니 Bin(10, 0.5) 입니다. stats.binom(10, 0.5).pmf(7) = ₁₀C₇ / 2¹⁰ = 120/1024 ≈ 0.117 입니다. 0.945 는 cdf(7), 곧 7개 이하일 확률입니다.

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포71

Q&A

06주차 · 대표적인 이산형 확률분포72