Chapter 05. 이산형 확률변수 — 05주차 슬라이드

05주차 · 이산형 확률변수01

05주차 · 이산형 확률변수02

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수03

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

- 불공정한 주사위의 확률분포

확률변수가 취할 수 있는 값의 집합 x_set

x_set에 대응하는 확률

- 불공정한 주사위의 확률변수

05주차 · 이산형 확률변수04

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

- 파이썬으로 구현

05주차 · 이산형 확률변수05

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수06

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수07

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

확률의 성질 — 확률은 모두 0 이상이고, 모두 더하면 1 이다

In [7]:  np.all(prob >= 0)
Out[7]: True

In [8]:  np.sum(prob)
Out[8]: 1.000

확률의 성질

$$f(x_k) \ge 0, \qquad \sum_k f(x_k) = 1$$

확률의 총합은 1

$$\frac{1}{21}+\frac{2}{21}+\frac{3}{21}+\frac{4}{21}+\frac{5}{21}+\frac{6}{21}=1$$

1np.all 은 모든 요소가 참일 때만 참을 반환
2np.sum 으로 확률을 모두 더하면 1

05주차 · 이산형 확률변수08

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수09

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.1 1차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수10

Q1

다음 중 확률분포가 될 수 없는 것은?

확률변수 X 의 확률함수 f(x) 네 가지입니다. 확률의 성질 두 가지를 떠올려 보세요.

1f(1) = 0.2, f(2) = 0.3, f(3) = 0.5
2f(0) = 0.5, f(1) = 0.5
3f(1) = 0.6, f(2) = 0.6, f(3) = −0.2
4f(1) = f(2) = … = f(6) = 1/6

05주차 · 이산형 확률변수11

A1

다음 중 확률분포가 될 수 없는 것은?

3번 — f(3) = −0.2 가 음수

3번도 확률을 모두 더하면 0.6 + 0.6 − 0.2 = 1 입니다. 그래도 확률분포가 아닙니다. 확률은 모두 0 이상이어야 하고, 모두 더하면 1 이어야 합니다. 두 성질을 다 만족해야 확률분포입니다.

05주차 · 이산형 확률변수12

5.1 1차원 이산형 확률변수

5.1.2 1차원 이산형 확률변수의 지표

- 기댓값 = 확률변수의 평균

확률변수를 몇 번이나(무제한) 시행하여 얻어진 실현값의 평균

무제한 시행할 수 없으므로 확률변수가 취할 수 있는 값과 확률의 곱의 총합

확률변수 X 의 기댓값이 3 입니다. X 를 두 배 하고 1 을 더한 확률변수의 기댓값을 구하세요.

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05주차 · 이산형 확률변수23

A2

E(X) = 3 일 때 E(2X + 1) 은?

기댓값의 선형성

$$E(2X+1) = 2E(X) + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$$

1번 — 7

기댓값은 곱한 수와 더한 수를 그대로 따라갑니다. E(aX + b) = aE(X) + b 이므로 2 × 3 + 1 = 7 입니다. 분산과 달리 제곱하지 않고, 더한 수도 사라지지 않습니다.

05주차 · 이산형 확률변수24

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수25

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수26

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

- 확률의 성질

05주차 · 이산형 확률변수27

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수28

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수29

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수30

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

- 확률의 성질

05주차 · 이산형 확률변수31

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수32

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

- 주변확률분포

05주차 · 이산형 확률변수33

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.1 2차원 이산형 확률변수의 정의

05주차 · 이산형 확률변수34

Q3

X 의 주변확률분포를 구하는 방법은?

X 와 Y 의 결합확률분포 f(x, y) 가 표로 주어져 있습니다. 여기서 X 만의 확률분포 f_X(x) 를 얻으려면?

1같은 x 의 결합확률을 모두 곱한다
2표의 결합확률을 전부 더한다
3같은 y 의 결합확률을 모두 더한다
4같은 x 의 결합확률을 모든 y 에 대해 더한다

05주차 · 이산형 확률변수35

A3

X 의 주변확률분포를 구하는 방법은?

주변확률분포

$$f_X(x) = \sum_{k} f(x, y_k)$$

4번 — x 를 고정하고 y 에 대해 더한다

X 가 x 인 경우를 모두 모으려면 Y 가 어떤 값이든 상관없이 더하면 됩니다. 표로 보면 X 의 한 줄을 가로로 더하는 것입니다. 표 전체를 더하면 1 이 나올 뿐이고, 같은 y 끼리 더하면 Y 의 주변확률분포가 됩니다.

05주차 · 이산형 확률변수36

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 기댓값

파이썬으로 구현

05주차 · 이산형 확률변수37

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 기댓값

기댓값의 함수로 구현

05주차 · 이산형 확률변수38

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 기댓값

X와 Y의 기댓값

05주차 · 이산형 확률변수39

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

05주차 · 이산형 확률변수40

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 분산

X의 분산은 X에 관한 편차 제곱의 기댓값

파이썬으로 구현

05주차 · 이산형 확률변수41

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 분산

X와 Y의 함수 g(X, Y)의 분산

함수 구현

05주차 · 이산형 확률변수42

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 분산

X와 Y의 분산

05주차 · 이산형 확률변수43

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 공분산

두 확률변수 X, Y 사이의 상관

05주차 · 이산형 확률변수44

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

05주차 · 이산형 확률변수45

5.2 2차원 이산형 확률변수

5.2.2 2차원 이산형 확률변수의 지표

- 상관계수

05주차 · 이산형 확률변수46

Q4

Cov(X, Y) > 0 일 때 알 수 있는 것은?

두 확률변수 X, Y 의 공분산이 양수로 나왔습니다.

1X 와 Y 는 서로 독립이다
2X 가 크면 Y 도 큰 경향이 있다
3상관계수가 1 이다
4X 의 분산이 Y 의 분산보다 크다

05주차 · 이산형 확률변수47

A4

Cov(X, Y) > 0 일 때 알 수 있는 것은?

2번 — 한쪽이 크면 다른 쪽도 큰 경향

공분산의 부호는 두 변수가 움직이는 방향만 알려줍니다. 양수면 같은 방향입니다. 독립이면 공분산은 0 이고, 상관계수가 1 인지는 공분산을 두 표준편차로 나눠 봐야 압니다. 공분산의 크기는 단위에 따라 바뀌므로 얼마나 강한지는 상관계수로 봅니다.

05주차 · 이산형 확률변수48

확인 문제 — 확률분포표·기댓값·분산

시험에 이런 형태로 나올 수 있는 문제입니다. 문제를 띄우면 답 장으로 넘기기 전에 먼저 손으로 풀어 보세요.

5확률분포표의 빈칸 a 는?
6같은 분포의 기댓값과 P(X ≥ 2) 는?
7V(−3X + 5) 는?
8V(X + Y) 와 상관계수는?

05주차 · 이산형 확률변수49

Q5

확률분포표의 빈칸 a 는?

x	0	1	2	3
f(x)	0.1	0.3	a	0.2

05주차 · 이산형 확률변수50

A5

확률분포표의 빈칸 a 는?

a = 0.4

확률의 합은 1 이어야 하므로 a = 1 − (0.1 + 0.3 + 0.2) = 0.4 입니다. 구한 뒤 음수가 아닌지도 확인합니다.

05주차 · 이산형 확률변수51

Q6

같은 분포의 기댓값과 P(X ≥ 2) 는?

x	0	1	2	3
f(x)	0.1	0.3	0.4	0.2

05주차 · 이산형 확률변수52

A6

같은 분포의 기댓값과 P(X ≥ 2) 는?

값 × 확률의 합

$$E(X) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2) = 1.7$$

E(X) = 1.7, P(X ≥ 2) = 0.6

P(X ≥ 2) 는 1 − F(1) = 1 − 0.4 로 구해도 됩니다. '이상'이므로 2 를 포함합니다.

05주차 · 이산형 확률변수53

Q7

V(−3X + 5) 는?

확률변수 X 의 분산이 2 입니다.

05주차 · 이산형 확률변수54

A7

V(−3X + 5) 는?

b 는 사라지고 a 는 제곱

$$V(-3X+5) = (-3)^2 V(X) = 9 \times 2 = 18$$

18

상수 5 는 분산에 영향이 없고, −3 은 제곱되어 9 가 됩니다. 음수를 곱해도 분산은 음수가 되지 않습니다 — 제곱되기 때문입니다.

05주차 · 이산형 확률변수55

Q8

V(X + Y) 와 상관계수는?

V(X) = 4, V(Y) = 9, Cov(X, Y) = 2 입니다.

05주차 · 이산형 확률변수56

A8

V(X + Y) 와 상관계수는?

합의 분산과 상관계수

$$V(X+Y) = 4 + 9 + 2 \times 2 = 17, \qquad \rho = \frac{2}{\sqrt{4}\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$$

V(X + Y) = 17, ρ = 1/3

두 변수가 양의 방향으로 함께 움직이므로 분산이 각자의 합 13 보다 커집니다. 공분산 항의 2 를 빠뜨리는 실수가 많습니다.

05주차 · 이산형 확률변수57

Q&A

05주차 · 이산형 확률변수58